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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 2 - Límite y continuidad

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2.9. Calcular, si es posible, los límites de las siguientes funciones cuando x→+∞x \rightarrow+\infty y cuando x→−∞x \rightarrow-\infty.
g) f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)

Respuesta

f(x)=ln⁡(x2+1) f(x) = \ln(x^2 + 1)

Aclaración importante: Antes de calcular estos límites, preguntémonos por unos segundos cuál es el dominio de esta función.

Si pedimos que "lo de adentro del logaritmo" sea mayor que cero, tenemos que...

x2+1>0x^2 + 1 > 0

Y mirá con cuidado esta expresión... tenemos un número elevado al cuadrado (o sea que va a ser siempre mayor o igual a cero, no importa el xx que pongamos ahí) y a eso le estamos sumando 11... ¡eso siempre va a ser >0>0, para cualquier xx! ¿Lo ves?

Por lo tanto, lo de adentro de este logaritmo siempre es mayor que cero, y el dominio de esta función es R\mathbb{R}. Asi que en este caso podemos tomar límite tanto en ++ como en −∞-\infty :)

Ahora sí, a lo nuestro!
1) Límite cuando x→+∞ x \rightarrow +\infty :

Lo de adentro del logaritmo se está yendo a +∞+\infty, por lo tanto:
lim⁡x→+∞ln⁡(x2+1)=+∞ \lim _{x \rightarrow +\infty} \ln(x^2 + 1) = +\infty 2) Límite cuando x→−∞ x \rightarrow -\infty :

Lo de adentro del logaritmo se está yendo a +∞+\infty (porque el menos infinito está elevado al cuadrado!) Por lo tanto: 

lim⁡x→−∞ln⁡(x2+1)=+∞ \lim _{x \rightarrow -\infty} \ln(x^2 + 1) = +\infty
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Agus
6 de abril 11:03
Flor porqué en todos los ejercicios de lim con logaritmo cuando la x tendía a -inf no lo evaluábamos por las restricciones del dominio y ahora si?
0 Responder
Flor
PROFE
6 de abril 18:35
@Agus Hola Agus por acá! Veo que estás a full con la práctica de límites y muy buena esta preguntaaa! De hecho voy a agregar la aclaración en la resolución :)

Fijate que en este caso yo me podría preguntar, cuál es el dominio de esta función? Miremos bien...

ln⁡(x2+1)\ln(x^2 + 1)

Nosotros necesitamos que lo de adentro del logaritmo sea >0>0

x2+1>0x^2 + 1 > 0

Pero eso se cumple siempre, porque fijate que a x2x^2 (que vale cero o es un número positivo) le estamos sumando 11... eso siempre siempre va a ser mayor a cero, lo ves? En este caso el dominio de la función es todos los reales, así que tenemos función tanto en ++ como en −∞-\infty

De hecho, fijate que si evaluamos lo de adentro del logaritmo en −∞-\infty, como está elevado al cuadrado nos queda +∞+1+\infty + 1, o sea, +∞+\infty... así que perfecto, todo legal :)

Se ve mejor?
1 Responder
Agus
7 de abril 19:45
@Flor Jajaja si le estoy metiendo a full!! graciass.
1 Responder